3.3103 \(\int \frac{(a+b x)^m (c+d x)^{1-m}}{(e+f x)^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=176 \[ \frac{(b c-a d)^2 (a+b x)^{m+1} (c+d x)^{-m-1} (b (3 d e-c f (2-m))-a d f (m+1)) \, _2F_1\left (3,m+1;m+2;\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}\right )}{3 (m+1) (b e-a f)^4 (d e-c f)}-\frac{f (a+b x)^{m+1} (c+d x)^{2-m}}{3 (e+f x)^3 (b e-a f) (d e-c f)} \]

[Out]

-(f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^3)
+ ((b*c - a*d)^2*(b*(3*d*e - c*f*(2 - m)) - a*d*f*(1 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c
+ d*x)^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*
e - a*f)*(c + d*x))])/(3*(b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)*(1 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.280649, antiderivative size = 175, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 26, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.077 \[ \frac{(b c-a d)^2 (a+b x)^{m+1} (c+d x)^{-m-1} (-a d f (m+1)-b c f (2-m)+3 b d e) \, _2F_1\left (3,m+1;m+2;\frac{(d e-c f) (a+b x)}{(b e-a f) (c+d x)}\right )}{3 (m+1) (b e-a f)^4 (d e-c f)}-\frac{f (a+b x)^{m+1} (c+d x)^{2-m}}{3 (e+f x)^3 (b e-a f) (d e-c f)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 - m))/(e + f*x)^4,x]

[Out]

-(f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^3)
+ ((b*c - a*d)^2*(3*b*d*e - b*c*f*(2 - m) - a*d*f*(1 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c
+ d*x)^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*
e - a*f)*(c + d*x))])/(3*(b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)*(1 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 37.6556, size = 143, normalized size = 0.81 \[ - \frac{f \left (a + b x\right )^{m + 1} \left (c + d x\right )^{- m + 2}}{3 \left (e + f x\right )^{3} \left (a f - b e\right ) \left (c f - d e\right )} - \frac{\left (a + b x\right )^{m + 1} \left (c + d x\right )^{- m - 1} \left (a d - b c\right )^{2} \left (- a d f \left (m + 1\right ) - b c f \left (- m + 2\right ) + 3 b d e\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} m + 1, 3 \\ m + 2 \end{matrix}\middle |{\frac{\left (- a - b x\right ) \left (- c f + d e\right )}{\left (c + d x\right ) \left (a f - b e\right )}} \right )}}{3 \left (m + 1\right ) \left (a f - b e\right )^{4} \left (c f - d e\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**m*(d*x+c)**(1-m)/(f*x+e)**4,x)

[Out]

-f*(a + b*x)**(m + 1)*(c + d*x)**(-m + 2)/(3*(e + f*x)**3*(a*f - b*e)*(c*f - d*e
)) - (a + b*x)**(m + 1)*(c + d*x)**(-m - 1)*(a*d - b*c)**2*(-a*d*f*(m + 1) - b*c
*f*(-m + 2) + 3*b*d*e)*hyper((m + 1, 3), (m + 2,), (-a - b*x)*(-c*f + d*e)/((c +
d*x)*(a*f - b*e)))/(3*(m + 1)*(a*f - b*e)**4*(c*f - d*e))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 6.19156, size = 3798, normalized size = 21.58 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Integrate[((a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 - m))/(e + f*x)^4,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + m)*((3*d*(b*e - a*f)^4*(e + f*x)*((-2*b*e + a*f*(1 + m) + b*f*(-
1 + m)*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m]
- 2*(a*f*(1 + m) + b*(-e + f*m*x))*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*
e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + f*(1 + m)*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f
)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m]))/(f*(2*b*e - 2*a*f)*(-(b*e) + a
*f)^3*((b*e - a*f)*(-(a*f*(1 + m)) + b*(e - f*m*x))*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)
*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + ((a + b*x)*((a*f*(1 + m)*(-2*c*f +
d*(e - f*x)) + b*(c*f*(e*(2 + m) - f*m*x) + d*e*(-e + f*(1 + 2*m)*x)))*HurwitzLe
rchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + f*(-(d*e) +
c*f)*(1 + m)*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c +
d*x)), 1, 2 + m]))/(c + d*x))) + (c*(c + d*x)*(6*(b*e - a*f)^2*HurwitzLerchPhi[
((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 6*(b*e - a*f)^2*m*Hurwi
tzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 6*f*(b*e - a
*f)*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1
, m] + 6*f*(-(b*e) + a*f)*m^2*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/
((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 2*f^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*
(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((
d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - 2*f^2*m^2*(a + b*x)^2*Hur
witzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + f^2*m^3*(a
+ b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m]
- 6*(b*e - a*f)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x
)), 1, 1 + m] - 6*(b*e - a*f)^2*m*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e
- a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + 12*f*(b*e - a*f)*m*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*
e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + 12*f*(b*e - a*f)*m^2*(a
+ b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 +
m] + 3*f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c
+ d*x)), 1, 1 + m] - 3*f^2*m^3*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*
x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + 6*f*(-(b*e) + a*f)*(a + b*x)*HurwitzLer
chPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 12*f*(-(b*e)
+ a*f)*m*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x
)), 1, 2 + m] + 6*f*(-(b*e) + a*f)*m^2*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a
+ b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 3*f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPh
i[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 6*f^2*m^2*(a + b*
x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m]
+ 3*f^2*m^3*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c
+ d*x)), 1, 2 + m] - 2*f^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/(
(b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m] - 5*f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e -
c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m] - 4*f^2*m^2*(a + b*x)^2*Hurwi
tzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m] - f^2*m^3*
(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1,
3 + m]))/((1 + m)*((b*e - a*f)*(c + d*x)*(a^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) + 2*a*b*f*(1 +
m)*(-2*e + f*m*x) + b^2*(2*e^2 - 4*e*f*m*x + f^2*(-1 + m)*m*x^2))*HurwitzLerchP
hi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - (a + b*x)*((a^2*f^2*
(2 + 3*m + m^2)*(-3*c*f + d*(e - 2*f*x)) - 2*a*b*f*(1 + m)*(c*f*(-(e*(6 + m)) +
2*f*m*x) + d*(2*e^2 - 2*e*f*(2 + m)*x + f^2*m*x^2)) + b^2*(c*f*(-2*e^2*(3 + 2*m)
+ 2*e*f*m*(3 + m)*x - f^2*(-1 + m)*m*x^2) + d*e*(2*e^2 - 4*e*f*(1 + 2*m)*x + f^
2*m*(1 + 3*m)*x^2)))*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d
*x)), 1, 1 + m] + f*(1 + m)*(a + b*x)*((a*f*(2 + m)*(-2*d*e + 3*c*f + d*f*x) + b
*c*f*(-(e*(6 + m)) + 2*f*m*x) + b*d*e*(4*e - f*(2 + 3*m)*x))*HurwitzLerchPhi[((d
*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + f*(d*e - c*f)*(2 + m)*
(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3
+ m])))) - (d*e*(c + d*x)*(6*(b*e - a*f)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x
))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 6*(b*e - a*f)^2*m*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*
f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 6*f*(b*e - a*f)*(a + b*x)*Hurwitz
LerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + 6*f*(-(b*e) +
a*f)*m^2*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x
)), 1, m] + 2*f^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*
f)*(c + d*x)), 1, m] - f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))
/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - 2*f^2*m^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e -
c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] + f^2*m^3*(a + b*x)^2*HurwitzLerc
hPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - 6*(b*e - a*f)^2*Hu
rwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] - 6*(b*
e - a*f)^2*m*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1,
1 + m] + 12*f*(b*e - a*f)*m*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/(
(b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + 12*f*(b*e - a*f)*m^2*(a + b*x)*HurwitzLerchP
hi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + 3*f^2*m*(a + b*x
)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] -
3*f^2*m^3*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c +
d*x)), 1, 1 + m] + 6*f*(-(b*e) + a*f)*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a
+ b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 12*f*(-(b*e) + a*f)*m*(a + b*x)*Hu
rwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 6*f*(
-(b*e) + a*f)*m^2*(a + b*x)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)
*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 3*f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b
*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 6*f^2*m^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[
((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + 3*f^2*m^3*(a + b*x)
^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] -
2*f^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)
), 1, 3 + m] - 5*f^2*m*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e
- a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m] - 4*f^2*m^2*(a + b*x)^2*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*
f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m] - f^2*m^3*(a + b*x)^2*HurwitzLe
rchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m]))/(f*(1 + m)*(
(b*e - a*f)*(c + d*x)*(a^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) + 2*a*b*f*(1 + m)*(-2*e + f*m*x)
+ b^2*(2*e^2 - 4*e*f*m*x + f^2*(-1 + m)*m*x^2))*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a
+ b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, m] - (a + b*x)*((a^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)*(-3
*c*f + d*(e - 2*f*x)) - 2*a*b*f*(1 + m)*(c*f*(-(e*(6 + m)) + 2*f*m*x) + d*(2*e^2
- 2*e*f*(2 + m)*x + f^2*m*x^2)) + b^2*(c*f*(-2*e^2*(3 + 2*m) + 2*e*f*m*(3 + m)*
x - f^2*(-1 + m)*m*x^2) + d*e*(2*e^2 - 4*e*f*(1 + 2*m)*x + f^2*m*(1 + 3*m)*x^2))
)*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 1 + m] + f
*(1 + m)*(a + b*x)*((a*f*(2 + m)*(-2*d*e + 3*c*f + d*f*x) + b*c*f*(-(e*(6 + m))
+ 2*f*m*x) + b*d*e*(4*e - f*(2 + 3*m)*x))*HurwitzLerchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x)
)/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 2 + m] + f*(d*e - c*f)*(2 + m)*(a + b*x)*HurwitzLe
rchPhi[((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)), 1, 3 + m]))))))/(3*(c +
d*x)^m*(e + f*x)^3)

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.185, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{m} \left ( dx+c \right ) ^{1-m}}{ \left ( fx+e \right ) ^{4}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^m*(d*x+c)^(1-m)/(f*x+e)^4,x)

[Out]

int((b*x+a)^m*(d*x+c)^(1-m)/(f*x+e)^4,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (b x + a\right )}^{m}{\left (d x + c\right )}^{-m + 1}}{{\left (f x + e\right )}^{4}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f*x + e)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f*x + e)^4, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (b x + a\right )}^{m}{\left (d x + c\right )}^{-m + 1}}{f^{4} x^{4} + 4 \, e f^{3} x^{3} + 6 \, e^{2} f^{2} x^{2} + 4 \, e^{3} f x + e^{4}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f*x + e)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f^4*x^4 + 4*e*f^3*x^3 + 6*e^2*f^2*x^2 +
4*e^3*f*x + e^4), x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**m*(d*x+c)**(1-m)/(f*x+e)**4,x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (b x + a\right )}^{m}{\left (d x + c\right )}^{-m + 1}}{{\left (f x + e\right )}^{4}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f*x + e)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*x + a)^m*(d*x + c)^(-m + 1)/(f*x + e)^4, x)